纯态混态与密度算符

纯态和混态

纯态(pure state)

​ 可以用态矢量描述的量子态即为纯态$\mid\varphi>$。

混态(mixed state)

​ 混态本质上是一种统计系综，是大量性质相同各自独立的系统的集合。在这些系统当中，我们知道有多少系统处于不同的量子态

中。此时我们在这些系统中拿出一个系统来，我们想描述这个系统的状态，但我们无法确定这个系统到底处于哪个状态上，而是我们能说他是以不同的概率$p_n$处于$\mid\varphi_n>$上。

密度算符(density operator)

表示

 对于纯态$$\mid\varphi>$$，密度算符可以表示为：$$\rho=\mid\varphi><\varphi\mid$$

​ 对于混态，我们需要将其中的每一个参与态做外积，乘以相应的几率，然后对所有可能的参与态进行求和$\rho=\sum_n{p_n}\mid\varphi_n><\varphi_n\mid$

​ 其中有归一化条件$\sum_n{p_n}=1$，同时，对于混态中的参与态$\mid\varphi_n>$，不要求其满足正交完备性。

​ 再者，在混态的密度算符中，对于同一个$\rho$，他们参与态的形式并不唯一。并且其可能的参与态方式是有无穷多个，在所有这些不同的参与方式中，里面一定存在一组正交归一完备的参与态，这组参与态就是密度算符的本征态。

性质

1. 厄密性：$\rho^\dagger=\rho$
2. 单位迹：Tr$\rho$=1
3. 半正定性：密度矩阵在任意态上的平均值都是非负的，$"<\phi\mid\rho\mid\phi>"\geq0$
4. $Tr\rho^2\leq1$，当$\rho$表示纯态的时候取等号